Grados y Radianes

Grados y Radianes

360*= 2π rad

270*= 3π/2

180*= π rad

90*= π/2

45*= π/4

Conversión de grados a radianes:

A*= A (π/180)rad

30*= 30 (π/180)

30*= π/6

Conversión de radianes a grados:

Arad= A (180/π)*

7π/6 = 7π/6 (180/π)*

7π/6 = 210*

Medida en Radianes

La circunferencia de radio 1 es 2π y por lo tanto una revolución completa tiene 2π rad, un ángulo llano tiene medida de π rad y un ángulo recto tiene medida de π/2 rad.

Puesto que una revolución completa medida en grados es 360 y medida en radianes 2π, se obtiene la siguiente relación  entre dos métodos de medición de ángulo.

180 = π rad                                              1 rad = (180 / π)                1° = π/ 180 rad

a.       Para convertir grados a radianes, multiplique por π/180

b.      Para convertir radianes a grados, multiplique por 180/ π

Medida  ᶿ = 1 rad ≈ 57.296°

Para tener cierta idea del tamaño de un radian:

1 rad ≈ 57.296 y   1° ≈ 0.01745

Funciones Trigonométricas de ángulos

Medida angular
- Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de números reales o como funciones de ángulos.

- Un ángulo de medida 1 se forma al rotar el lado inicial 1/360 de una revolución completa. En cálculo y otras ramas de las matemáticas, se usa un modo más natural de medir ángulos, la medida es radianes. La cantidad que se abre un ángulo se mide a lo largo del arco de un círculo de radio 1 con su centro en el vértice del ángulo.

- Si la rotación del ángulo va en contra de las manecillas del reloj, entonces sería un ángulo positivo. Si rota a favor de las manecillas del reloj, entonces sería negativo.

- Si un círculo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en un centro, entonces la medida de este ángulo en radianes (rad) es la longitud del arco que subtiende el ángulo.

Ley de Enfriamiento de Newton

A(t)=Ts+Aoe^-kt

Ts=temperatura ambiente

Ejemplo:
-Una taza de cafe tiene una temperatura de 200 grados F y se coloca en una habitacion que tiene una temperatura de 70 grados F. Despues de 10 min. la temperatura del cafe es 150 grados F.

Ao=Tc-Ts
Ao=200-70
Ao=130

a) Encuentre una funcion que modele la temperatura del cafe.

150=70+130e^-k(10)
150-70=130e^-k(10)

80/130=130e^-k(10)/130

8/13=e^-k(10)
(In8/13)/-10=-10k/-10
k≈.0486

A(t)= 70 +130 e^-0.0486t

b)Calcula la temperatura del cafe despues de 15 minutos.

A(t)=70+130e^-0.0486(15)
A(t)≈133grados F

c)En que momento el cafe se habra enfriado a 100 grados?
100=70 +130e^0.0486t
100-70=130e^0.0486t
30/130=130e^-0.0486t/-0.0486
t≈30 segundos

Decaimiento Exponencial

A(t)=Aoe^-kt
k=ln2/t

Ejemplo:Polonio tiene una vida promedio de 140 dias ; suponga que una muestra de esta sustancia tiene una masa de 300 mg.
a)Encuentre una funcion que modele la cantidad de la muestra que queda en el tiempo (t).

ln2/140=k
k≈.0050

A(t)=300e^-0.0050t

b) Calcule la masa que queda despues de un a-o.
A(t)=300e^(-0.0050 x 365)
A(t)≈48 mg

c)200/300=300e^-0.0050t/300
2/3=e^-0.0050t
(ln2/3)/-0.0050=-0.0050t/-0.0050
t≈81

Modelos de Crecimiento

Modelo de Crecimiento:

Ejemplo 1:

La población del mundo en el año 1995 era de 5,700 millones y la tasa de crecimiento relativa estimada es del 2% anual. Si la población sigue creciendo a esta tasa ¿Cuando alcanzara 57,000 millones de personas? (tiempo)



Ejemplo 2:

Un cultivo comienza con 10,000 bacterias y el número se duplica cada 40 minutos.

a)      Encuentre una función que modele el número de bacterias en el tiempo t

b)      Encuentre el  número de bacteria después de una hora

c)       Después de cuantos minutos habría 50,000 bacterias



Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas

Teorema:

1. b^x = b^y
2. log base a X = log base a Y
x=y
Ejemplo:
2^x=16
2^x=2^4
x=4

5^x+1=625
5^x+1=5^4
x=3

1. (1/5)^2-x=25
5^-1(2-x)=5^2
-2x=2
x=4
2. e^x^2 = (e^3x) x 1/e^2
e^x^2 = e^3x x e^-2
x^2 = 3x-2
x^2-3x+2 = 0
(x-2)(x-1)= 0
x=2
x=1
3. logx + log(x+15)= 2
log x(x+15) = 2
x^2+15x= 10^2
x^2+15x-100=0
(x-5)(x+20)
x=5