Ecuaciones Exponenciales y logaritmicas

Recuerde logaX=y <=> a^y=x

Teorema:

b^x=b^y
x=y
logaX=logaY
X=Y
Ejemplos:

1)5^x+1=625
5^x+1=5^4
x+1=4
x=3

2)2(10^x)/2=200/2

10^x=100
10^x=10^2

3)2^3x-1=32
2^3x-1=2^5
3x-1=5
3x=5+1
3x=6
x=2

4)(1/5)^2-x=25
5^-1^2-x=5^2
-2+x=2
x=2+2
x=4

5)3x^3=9^x
3x^3=3^2x
x^3=2^x
x^3-2x=0
x(x^2-2)=0
x1=0 x2=raiz cuadrada de 2 x3=-raiz cuadrada de 2

Leyes de los logaritmos

Leyes de los logaritmos

Sea "a" un número positivo, con "a" no es igual a 1. Sean m>a, m>0, # cuales quiera entonces.

1) loga(mn) = logam + logan

log1020 = log 2 + log 2 + log 5

2) loga(m/n) = logam - logan

log2(5/3) = log25 - log23

3) logam^r = r logam

log2x^3 = 3 log2x

4) loga n(raíz de)m = logam1/n = 1/n logam

5) loga(a) = 1

6) loga^m(a)^n = n/m

log2^3(2)^4 = 4/3 -> (2^3)^3/4 = 2^4

Definición de la función logarítmica

Sea a un # positivo con a ≠ 1. La función logarítmica con base a denotaba por

 x = y

Se define:

Asi

 es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x

Ejemplo:

Comparación

Forma Exponencial y Logarítmica

*** En ambas formas la base es la misma ***

Ejemplos:

Propiedad de los Logarítmos

Propiedad                                                                              Razón

 Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1.

 Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a.

Se debe elevar a a la potencia x para obtener a ^ x

 

 es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x .

Propiedades de los Logarítmos Naturales

Cambio de Bases:

***Nota***

Función Exponencial Natural

viernes 13 de enero de 2012

Interés compuesto: A(t)= P (1+r/n)^nt

Interés compuesto de forma continua: A(t)= Pe^rt

P= principal

r= tasa de interés

n= número de veces que el interés se compone por año

t= número de años

Ej. Se invierte $1000 en una tasa de interés de 12% anual por 3 años y el interés se compone anual, semianual, trimestral, mensual o diario.

Anual: A(t)= 1000(1+0.12/1)^1(3)

= $1,404.92

Semianual: A(t)= 1000(1+0.12/2)^2(3)

= $1,418.52

Trimestral: A(t)= 1000(1+0.12/4)^4(3)

= $1,425.76

Mensual: A(t)= 1000(1+0.12/12)^12(3)

= $1,430.77

Diario: A(t)= 1000(1+0.12/365)^365(3)

= $1,433.24

Funcion exponencial Natural

La funcion exponencial natural es la funcion exponencial f(x)=e^x con base e .Es comun referirse a ella como la funcion exponencial.

f(x)=e^x
e^(1)≈2.71828
Modelo de Crecimiento

N(t)=Aoe^kt

A0=cantidad inicial
K=constante de crecimiento
t=tiempo
Ejemplos:

1)El conteo inicial de bacterias en un cultivo es de 500 bacterias.Posteriormentes un biologo hace un conteo que muestra y encuentra que la taza relativa de crecimiento es de 40% por hora. Indique la cantidad de bacterias luego de 10 horas.

N(t)=500e^.40(10)
≈27,300 bacterias

2)La poblacion de ratas en N.Y esta dad por las iguiente formula :N(t)=54e^0.12t donde t es el tiempo en a-os y la poblacion esta dada en millones desde el 1990. a)Cual es la taza relativa de crecimiento? b) Cual fue la poblacion en el 1990? c)Cual es la poblacion esperada para 2025?

a)12%
b)54 millones
c)N(t)=54e^0.12(.35)
≈3,601 millones

John Napier o Neper

John Napier (Merchiston Castle, Escocia, 1550-id., 1617) matemático y teólogo escocés. Protestante convencido, criticó enconadamente a la Iglesia católica y abogó por la persecución de “papístas, ateos y neutrales” en una carta dirigida al rey, Jacobo I, en la que le dedicaba su obra teológica Plaine Discovery of the Whole Revelation of Saint John. A pesar de la notoriedad que le procuraron las más de treinta ediciones de dicha obra, el nombre de Napier había de quedar por siempre ligado al desarrollo de los logaritmos, un método matemático ideado con el objeto de simplificar el cálculo numérico que iba a ejercer una enorme influencia en todos los campos de la matemática aplicada. Napier tardó algo más de veinte años en madurar sus ideas iniciales, que publicó finalmente en 1614. Poco después, el matemático inglés Henry Briggs se desplazó a Escocia y convenció a Napier para modificar la escala inicial usada por éste; nacieron así los logaritmos de base 10, forma en la que se impusieron en toda Europa.

Funciones Exponenciales y Logarítmicas

* Funciones Exponenciales 

- Es una función exponencial con base 2 

- Rapidez con la que crece :

- Si se compara con: 

* Características de la función exponencial:

1. Dominio de función: 

2. Rango: 

3. Tiene asintota horizontal en el eje de X 

4. Inercepto en Y  es  (0, 1)

5. Pasa por los puntos: 

(0, 1)

(1, a)

(-1, 1/a)

* 

1. Dominio de función: 

2. Rango: 

3. Tiene asintota horizontal en el eje de X 

4. Inercepto en Y  es  (0, 1)

5. Pasa por los puntos: 

(0, 1)

(1, a)

(-1, 1/a)

- La función exponencial con base a se define para todos los números reales X por :

Ejemplos de Funciones Exponenciales: