Regla de los Signos de Descartes

Regla de los Signos de Descartes

- El numero de ceros reales positivos es igual al numero de variaciones en el signo de los coeficientes diferentes de cero de f(x).

*Ej:

x^3 + x^2 - 10^x + 8 2 positivos

- El numero de ceros reales es igual al numero de variaciones en signos de los coeficientes diferentes de cero de f (-x).

*Ej:

-x^3 + x^2 + 10x + 8 1 negativo

p/q = factores del ultimo termino/ factores del primer termino

*Los posibles ceros de la función son: +,- ; 1; 2; 3; 4; 8

Sea P un polinomio con coeficientes reales:

- Si se divide P(x) entre x-b ( con b > 0 ) por medio de la división sintética y el residuo es cero, entonces b es un cero de la función.

*Los ceros de la función son: 1, 2, -4

Funciones Polinomiales

                                                                 Funciones Polinomiales

                                      -Teorema de la factorización completa -

 Si p(x) es un polinomio de grado n>0, entonces existen números complejos:

Tal que:

Estos ceros no necesitan o tienen que ser distintos. Si el factor x – c aparece K veces en la factorización completa del polinomio p(x), decimos que C es un cero de multiplicidad K

Ejemplo1: 

Ejemplo 2: Un polinomio con factores 3, 2, 1 de multiplicidad 3

                                                                          Proceso para graficar

-Para cada función polinomial-

a. Halle las raíces (cortes en x) reales

b.  Halle el intercepto en y

c. Determine los intervalos donde la gráfica esta sobre el eje de x.

d. Determine loa intervalos donde la gráfica esta debajo del eje de x.

e. Trace un bosquejo de la gráfica de f.

                                                                            Práctica:

Funciones Polinomiales

f(x)= AnX^n + An-1X^n-1 + An-2X^n-2 + ... + A0

Donde An, An-1...A, son números reales y n es un entero no negativo. El dominio lo constituyen todos los números reales. Una función polinomial es una cuya regla está dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable.

Ej. 1) f(x)= 3x^4-2x^3+8x^2+7x+1

2) f(x)= -6x^3-2x+1

3) f(x)= x^5-3x^2+1

Ejemplo :

f(x)<0 abajo: (-∞, -1)U(0,1)

f(x) >0 arriba: (-1,0)U(1,∞)

Funciones Cuadráticas - Forma Estandar

La Forma Estándar de una función cuadrática es f(x) = ax^2 + bx + c , donde "a" no es igual a 0 , la parábola tiene las siguientes propiedades:

* La parábola abre hacia arriba si a < 0 , tendrá un punto mínimo.

* La parábola abre hacia abajo si a > 0 , tendrá un punto máximo.

* El eje de simetría es la recta x = -b/2a..

* El vertice es el punto ( -b/2a , f( -b/2a)).

* El intercepto en y es c.

Ej:

f(x)= -2x^2 - 4x + 2

(-2x^2 -4x) + 2

-2( x^2 + 2x) + 2

-2( x^2 +2x +1 -1) +2

-2( x^2 +2x + 1) +4

f(x)= -2(x + 1)^2 + 4