Modelos de Crecimiento

Modelo de Crecimiento:

Ejemplo 1:

La población del mundo en el año 1995 era de 5,700 millones y la tasa de crecimiento relativa estimada es del 2% anual. Si la población sigue creciendo a esta tasa ¿Cuando alcanzara 57,000 millones de personas? (tiempo)



Ejemplo 2:

Un cultivo comienza con 10,000 bacterias y el número se duplica cada 40 minutos.

a)      Encuentre una función que modele el número de bacterias en el tiempo t

b)      Encuentre el  número de bacteria después de una hora

c)       Después de cuantos minutos habría 50,000 bacterias



Ecuaciones Exponenciales y Logaritmicas

Teorema:

1. b^x = b^y
2. log base a X = log base a Y
x=y
Ejemplo:
2^x=16
2^x=2^4
x=4

5^x+1=625
5^x+1=5^4
x=3

1. (1/5)^2-x=25
5^-1(2-x)=5^2
-2x=2
x=4
2. e^x^2 = (e^3x) x 1/e^2
e^x^2 = e^3x x e^-2
x^2 = 3x-2
x^2-3x+2 = 0
(x-2)(x-1)= 0
x=2
x=1
3. logx + log(x+15)= 2
log x(x+15) = 2
x^2+15x= 10^2
x^2+15x-100=0
(x-5)(x+20)
x=5

Ecuaciones Exponenciales y logaritmicas

Recuerde logaX=y <=> a^y=x

Teorema:

b^x=b^y
x=y
logaX=logaY
X=Y
Ejemplos:

1)5^x+1=625
5^x+1=5^4
x+1=4
x=3

2)2(10^x)/2=200/2

10^x=100
10^x=10^2

3)2^3x-1=32
2^3x-1=2^5
3x-1=5
3x=5+1
3x=6
x=2

4)(1/5)^2-x=25
5^-1^2-x=5^2
-2+x=2
x=2+2
x=4

5)3x^3=9^x
3x^3=3^2x
x^3=2^x
x^3-2x=0
x(x^2-2)=0
x1=0 x2=raiz cuadrada de 2 x3=-raiz cuadrada de 2

Leyes de los logaritmos

Leyes de los logaritmos

Sea "a" un número positivo, con "a" no es igual a 1. Sean m>a, m>0, # cuales quiera entonces.

1) loga(mn) = logam + logan

log1020 = log 2 + log 2 + log 5

2) loga(m/n) = logam - logan

log2(5/3) = log25 - log23

3) logam^r = r logam

log2x^3 = 3 log2x

4) loga n(raíz de)m = logam1/n = 1/n logam

5) loga(a) = 1

6) loga^m(a)^n = n/m

log2^3(2)^4 = 4/3 -> (2^3)^3/4 = 2^4