Funciones Cuadraticas, Problemas de aplicacion

Hoy estuvimos hablando sobre como aplicar las funciones cuadraticas en problemas de aplicacion.

Ejemplo #1
-Area Maxima

Se quieres construir una verja para cubrir un terreno rectangular que se encuentra al costado de una casa .Se cuenta con un rollo de 1000 m de tela metalica.

a) Cual es el area maxima que podemos cerrar?
Perimetro de un rectangulo
P=2l + 2w
Area de un rectangulo
A=lw

P=2w+l
1000=2w+l
1000-2w=l


A=lw
A=(1000-2w)w
A=1000w-2w^2
w=-b/2a=-1000/2(-2)=-1000/-4=250m

1000-2w=l
1000-2(250)=l
500m=l

A=(500)(250)
A=125,000 m^2

Ejemplo #2

A un tiemoo cero(t=0)un clavadista se impulsa a una velocidad de 16 pies/seg desde una plataforma que se encuentra a una altura de 32 pies sobre el agua. S(t)=-1/2gt^2+Vot+ So

a)Cual es la funcion que define la trayectoria del clavadista?
S(t)=-16t^2+16t+32

b)Cual es la altura maxima que alcanza el clavadista?
S(0.5)=-16(.5)^2+16(.5)+32
S(.5)=36

c)Cuanto tiemo le toma al clavadista alcanzar la altura maxima?
t=-b/2a
=-16/2(-16)
=.5 segundos
d)Cuando el clavadista toca o llega al agua?
0=-16t^2+16t+32
* se usa forma cuadratica
t1=-1
t2=2 segundos

e) A que altura se encontraba el clavadista despues de 1 seg. de haberse lanzado?

S(1)=-16(1)62+16(1)+32
=32 pies

Funciones Cuadráticas -Forma General-

Forma General:

Importante para resolver una función cuadrática:

1.     Vértice

2.     Eje de simetría

3.     Intercepto en y

4.     Intercepto en x  (discriminante = si tiene un int. o ninguno)

5.     Concavidad (hueco) *a>0 = concavidad hacia arriba ; a<0 concavidad hacia abajo

6.     Tabla de valores

7.     Gráfica 

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Función Cuadrática

Una función cuadrática es una función que puede ser escrita en la forma f(x)=a(x-h) ^2 +K (a ǂ 0) –Forma Estándar

La grafica de una función cuadrática tiene forma de U y se conoce como una parábola.

f(x)= ax^2+bx+c –Forma General

Vértice de una parábola

- Si una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo. Si abre hacia abajo, tiene un punto máximo.

- Este punto más bajo o más alto es el vértice de la parábola.

- La forma del vértice de una función cuadrática es f(x)=a(x-h) ^2 +K.

- El vértice de la parábola es (h,k).

Escribiendo Funciones Cuadráticas Transformadas

1. La función f(x)=x^2 es reflejada a través del eje de x, estirada verticalmente por un factor de 6 y trasladada 3 unidades a la izquierda para crear g.

2. La función f(x)=x^2 es comprimido verticalmente por un factor de 1/3 y trasladada 2 unidades a la derecha y 4 unidades hacia abajo para crear g.

Eje de Simetría

El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de una parábola que divide la parábola en dos mitades congruentes.

La función cuadrática f(x)=a(x-h)^2+k tiene el eje de simetría x=h.

Método de Completar el Cuadrado

A) f(x)= x^2+2x-8

=(x^2+2x)-8

=(x^2+2x+1-1)-8

=(x^2+2x+1)-8-1

f(x)=(x+1)^2-9

V=(-1,-9)

B) Eje de simetria x=-1

C) Intercepto en y (x=0)

f(x)= (x+1)^2-9

y= (0+1)^2-9

y= 1-9

y=-8

(0,-8)

D) Intercepto en x

0=(x+1) ^2-9

±√9=√(x+1)^2

±3=x+1

1±3=x

X1=2 ----- (2, 0)

X2=-4 ------ (-4, 0)

E) Concavidad: a>0 U

F) Tabla de Valores

x	f(x)
-5	7
-4	0
-3	-5
-2	-8
-1	-9
0	-8
1	-5
2	0
3	7

G) Gráfica

Composición de Funciones

Composición de Funciones

Dadas dos funciones f y g, la función compuesta f o g (también conocida como composición de f y g) esta definida por:

a) (f o g)(x) = f(g(x))

b) (g o f)(x) = g(f(x))

Ej: f(x) = 5x - 3

g(x) = x + 5

a) (f o g)(x) = 5(x+5)-3

= 5x + 25 - 3

= 5x + 22

b) (g o f)(x) = (5x - 3)+ 5

= 5x + 2

Luego de la explicación realizamos 8 ejercicios de practica dados por el maestro.

Funciones uno a uno y sus inversas

Hoy estuvimos hablando sobre las funciones uno a uno y sus inversas. Estuvimos hablando sobre sus definiciones y trabajamos con unos ejercicios de funciones inversas.

-Funcion uno a uno- Una funcion con dominio A se conoce como uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan el mismo rango.

f es uno a uno

g no es uno a uno


Una funcion es uno a uno si ninguna recta horizontal interesca su grafica mas de una vez.
Funcions inversas-Sea f una funcion uno a uno con dominio A y rango B.Entonces su funcion inversa f -1 tiene dominio B y rango A esta definida por:

f -1(y)=f(x)=y
f -1(x)=.f inversa de x

Ej.#1 f(x)=3x-5

a)intercambiar f(x)=y
y=3x-5

b)intercambiar las variables
x=3y-5

c)despejar para y
x=3y-5
x+5/3=3y/3
y=x+5/3

d)decimos que:
f -1(x)=x+5/3

Combinación de Funciones

Combinación de Funciones

-          Operaciones con Funciones –

·         En esta nueva sección se estudiaran diferentes formas de cambiar funciones para construir otras.

·         Suma, Diferencias, Productos y cocientes

-          Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones     f + g, f – g, f (g)  y f/g  de una manera similar a la forma en que se suma, se resta, se multiplica y se divide números reales. Se define la información f + g  por :

                                          (f + g) (x) = f(x) + g(x)

 Ejemplos:

·         Algebra de Funciones:

-          Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones      f + g,  f – g,  f (g)  y  f/g   se definen como:

(f + g) (x) = f(x) + g(x)    / Dominio  A ᴖ B (−∞, ∞)

(f – g) (x) = f(x) – g(x) / Dominio  A ᴖ B (−∞, ∞)

(fg) (x) = f(x)g(x) / Dominio  A ᴖ B (−∞, ∞)

(f/g) (x) = f(x)/g(x) / Dominio {x€ A ᴖ B / g(x) ≠ 0}

Ejemplo:

·         Practica :